Propuesta de metodología a seguir para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado (página 2)

La importancia del trabajo
planificado y la racionalización del trabajo mental de los
estudiantes adquiere cada vez mayor importancia desde el punto de
vista social y en el sentido de una racionalización tanto
externa (con ayuda de medios
auxiliares) como interna (mediante la utilización
consciente de procedimientos de
solución y formas de trabajo y de pensamiento en
la matemática),de ahí que este aspecto
constituya punto de vista esencial para la estructuración
de los métodos de
enseñanza–aprendizaje de la
matemática.

¿Cómo lograr en los estudiantes un trabajo
racional, planificado y orientado hacia el objetivo (en
particular la solución de problemas)?

Para desarrollar tal capacidad en los estudiantes tanto
éstos como los profesores deben ser protagonistas de la
llamada instrucción heurística por lo cual se
entiende la enseñanza de manera consciente y planificada,
tener conocimiento
de las reglas generales y especiales de la heurística para
la solución de problemas, o sea, impulsos o indicaciones
que faciliten el descubrir, hallar, inventar vías de
solución a problemas así como el reconocimiento de
aquellos conocimientos de uso indispensable para alcanzar el
éxito.

Según el criterio de algunos autores los elementos
heurísticos se dividen en dos categorías:
procedimientos heurísticos y medios auxiliares
heurísticos (entre los cuales podríamos citar a los
esquemas).

El empleo de la
instrucción heurística en el proceso de
enseñanza-aprendizaje es de vital importancia ya que
contribuye a lograr:

• la independencia cognoscitiva de los estudiantes.

• la integración de los nuevos conocimientos, con los
  ya asimilados.

• el desarrollo de operaciones intelectuales tales como:
  analizar, sintetizar, comparar, clasificar, etc. y de las
  formas de trabajo y de pensamiento fundamentales de la
  ciencia matemática: variación de condiciones,
  búsqueda de relaciones y dependencias, y
  consideraciones de analogía.

• la formación de capacidades mentales, tales como:
  la intuición, la productividad, la originalidad de las
  soluciones, la creatividad, etcétera.

A lo largo del tratamiento del segundo tema de la asignatura
matemática III en la Universidad de
las Ciencias
Informáticas se aborda la resolución de los
siguientes tipos de ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado:

• Ecuaciones de variables separadas, de variables separables
  y reducibles a éstas.

• Ecuaciones exactas.

• Ecuaciones reducibles a exactas mediante la
  multiplicación por un factor integrante que depende de
  una sola variable.

• Ecuaciones lineales.

Para cada uno de los tipos anteriores se estudia un método
para encontrar la solución general de la
ecuación dada, además se estudian algunas
sustituciones que pueden ser utilizadas cuando la
ecuación dada no es de un tipo conocido.

El estudiante, además de ser testigo de la necesidad de
reactivar ciertas habilidades relacionadas con la
derivación e integración de funciones reales
de variable real, debe haberse percatado de que no existe un
procedimiento
algorítmico a aplicar a todas las ecuaciones de
primer orden ,o sea, no se cuenta con una regla exacta sobre
la ejecución de cierto sistema de
acciones, en
un determinado orden, que permita arribar a la solución
general de cualquier ecuación diferencial de primer orden,
sino que,(al igual que en el caso de la integración y el
tratamiento de las series numéricas) el éxito
depende de una abundante práctica la cual permitirá
decidir en cada caso cómo escribir la ecuación y
posteriormente elegir el método a aplicar.

De lo anteriormente planteado puede afirmarse que el primer
problema que se nos presenta al tratar de resolver una EDO.
(ecuación diferencial ordinaria) es el de reconocer de
qué tipo es dicha ecuación y decidir qué
metodología emplear para integrar
(resolver) dicha ecuación. Para facilitar lo anterior
daremos una propuesta de metodología, que se resume en el
diagrama
siguiente, para cuando por simple inspección no
está en condiciones de elegir qué estrategia
seguir. No es otra cosa que una sucesión de indicaciones
de carácter heurístico para la
orientación de las acciones de los estudiantes en medio de
la necesidad de resolver una ecuación diferencial de
primer orden y primer grado.

Propuesta de metodología para abordar la
resolución de ecuaciones diferenciales de 1er orden y 1er
grado.

Nota:

Reconocer por simple inspección de qué tipo es
la ED. dada significa detectar si es una ecuación lineal o
si es una ED. que tiene ya sus varibles separadas, porque en
cualquier otro caso resulta , por lo general , dificil determinar
por simple inspección de qué tipo se trata. El
último bloque indica la posibilidad de resolver una ED que
no sea de los tipos estudiados, haciendo alguna
sustitución conveniente que permita transformar la ED.
dada en una de alguno de los tipos estudiados.

A continuación se presentan algunos ejemplos a modo de
ilustración de aplicación de la
propuesta de metodología.

Ejemplo1

Intentemos separar las variables.
Esta es una ecuación de variables separables, ya que se
logra separar las variables:

Ahora procedemos a integrar en ambos
miembros.

Solución general en forma
implícita)

En este caso no es difícil obtener la
solución general en forma explícita.

Ejemplo 2

¿Reconocemos de qué tipo es la ecuación?
Supongamos que la respuesta no es afirmativa.

No identificamos, por simple inspección, de qué
tipo es la ecuación, por lo que intentaremos separar las
variables. En esta ecuación aparece despejada la derivada,
por lo que si se lograra factorizar el polinomio que constituye
el segundo miembro de esta ecuación en un producto de
dos factores donde uno de ellos dependa solo de x y el otro
dependa solo de ¨y¨lograremos reconocer una
ecuación de variables separables.

Si se factoriza (mediante agrupamiento de sus términos)
dicho polinomio la ecuación nos queda:

Separemos variables e integrando miembro a
miembro:

Ejemplo 3

¿Reconocemos de qué tipo es la ecuación?
Supongamos que la respuesta no es afirmativa.

¿Podremos separar las variables?

No logramos clasificar la ecuación ni logramos separar
las variables. Escribamos la ecuación en forma
diferencial.

Aquí debe notarse que la ecuación
no admite separar sus variables (¿Por qué?).
Analicemos si es exacta.

La ecuación no es exacta.(¿Por
qué?) ¿Será reducible a una ecuación
exacta?

La ecuación admite una infinidad de factores
integrantes que dependen solo de "y". Tomemos el que corresponde
a c=0 y multipliquémosla por dicho factor.

Como la ecuación es exacta hallemos la función de
la cual el primer miembro es la diferencial total.

Pero

Entonces podemos plantear la siguiente cadena de
igualdades:

La solución general (en forma
implícita) de la ecuación puede escribirse
así:

Ejemplo 4

¿Reconocemos de qué tipo es la
ecuación?

Supongamos que no reconocemos de qué tipo
es la ecuación. Escribamos la ecuación en la
forma:

¿Y si invertimos las razones en cada uno
de los miembros de la ecuación?

Obtenemos la ecuación

Esta ecuación es de la forma
x"(y)+p(y)x=q(y),por lo que es una ecuación lineal de
primer orden. Toda ecuación lineal de primer orden admite
un factor integrante el cual ,en este caso, se obtiene mediante
la fórmula Al multiplicar la ecuación por este
factor integrante se obtiene:

Le invitamos a verificar que esta manera de
escribir la solución es equivalente a la obtenida en el
ejemplo anterior.

Con la resolución de los ejemplos 3 y 4 el
autor quiere hacer notar cómo una misma ecuación
diferencial puede ser abordada a partir de ofrecer para ella
distintos puntos de vista de clasificación.

Ejemplo 5

No logramos clasificarla a simple vista.
Rescribamos la ecuación.

Podemos considerar esta ecuación como una
ecuación de Bernoulli ya
que tiene la forma

Hagamos la sustitución

Sustituyamos esta igualdad en la
ecuación para reducirla a una ecuación lineal de
primer orden.

Esta ecuación lineal es a su vez una
ecuación de variables separables.

Ejemplo 6

No identificamos el tipo de ecuación a
simple vista por lo que decidimos intentar separar las
variables.

Logramos que se separaran las variables.

Una vez más se ha querido ilustrar
cómo abordar una misma ecuación diferencial desde
distintos puntos de vista.

Ejemplo 7

No logramos clasificar la ecuación tal
como se nos presenta.

¿Logró separar las variables?

No es posible separar las variables pero la
ecuación está dada en la forma
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,por lo que analizaremos si es exacta.

La
ecuación no es exacta. ¿Será reducible a
exacta por medio de un factor integrante que dependa de una sola
variable?

No logramos nuestro objetivo (un factor
integrante que dependa de una sola variable).

Rescribamos la ecuación:

La ecuación obtenida es una
ecuación de Bernoulli. Le invitamos a que concluya el
ejercicio.

Respuesta:

Ejemplo 8

Si dividimos la ecuación por el
coeficiente de la derivada obtenemos la ecuación

Esta es una ecuación lineal de primer
orden.

Le invitamos a concluir la resolución de
esta ecuación.

Respuesta:

Ejemplo 9

Aquí desarrollaremos un ejemplo que requiere componer
previamente la ecuación a clasificar y resolver con
posterioridad. Se trata de las trayectorias ortogonales de una
familia de
curvas.

Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de
curvas dada por

Recordemos que trayectoria ortogonal de una familia de curvas
es toda curva que sea ortogonal en algún punto a cada
miembro de la familia dada. De lo antes dicho se concluye que
cualquiera de estas curvas tiene la propiedad de
que en cualquiera de sus puntos la recta tangente es
perpendicular a la tangente de algún miembro de la familia
en dicho punto.

¿Cuál es la ecuación paramétrica
que describe la familia de curvas?

Hallemos la expresión correspondiente a las respectivas
pendientes de sus tangentes, para lo cual derivamos ambos
miembros de esta ecuación.

¿Cómo viene dada la pendiente de cualquier recta
perpendicular a una cualquiera de estas tangentes?

Como estamos haciendo referencia a rectas en un plano
cartesiano, mutuamente perpendiculares, entonces sus pendientes
(en caso de estar definidas) son, cada una, el opuesto del
recíproco de la otra.

Entonces en la ecuación anterior hacemos
el cambio:

De donde se obtiene:

Si despejamos k de la ecuación de la familia de curvas
y sustituimos en la ecuación anterior nos queda:

Esta ecuación la identificamos como una ecuación
de variables separables ya que su segundo miembro se expresa como
producto de un factor que depende solo de x y otro que depende de
"y". Resolvámosla.

Asignémosle algunos valores a c y
hagamos un gráfico en el asistente matemático
Derive.

Ejemplo 10

¿Reconoce el tipo de ecuación?

Aquí tenemos una ecuación en la forma por lo que resulta ser una
ecuación reducible a una ecuación de variables
separables mediante la sustitución z=ax+by+c.

En este caso hagamos z=x+y-2.

A continuación se propone un grupo de
ejercicios en los cuales (al menos en el caso de los estudiantes
principiantes) se sugiere seguir las sugerencias de la
metodología propuesta.

Ejercicio

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando en
cada caso el método analítico que considere
más apropiado. Hállense las soluciones
particulares en los casos que se brinden condiciones para ello.
En cada caso de ser posible corrobore la respuesta en Derive.

• a) 

Respuesta:

• b) 

Respuesta:

• c) 

Respuesta:

• d) 

Respuesta:

• e) 

Respuesta:

• f) 

Respuesta:

• g) 

Respuesta:

• h) 

Respuesta:

• i) 

Respuesta:

• j) 

Respuesta:

• k) 

Respuesta:

• l) 

Respuesta:

ll)

Respuesta:

• m) 

Respuesta:

• n) 

Respuesta:

Conclusiones

Con los ejemplos desarrollados en este material se ha querido
ilustrar una propuesta de cómo proceder para resolver,
mediante métodos analíticos, una
ecuación diferencial ordinaria de primer orden que sea
integrable en cuadraturas, siguiendo la metodología
propuesta.

Se hace imprescindible una abundante práctica siempre
que se persiga como finalidad el que el estudiante desarrolle las
habilidades necesarias para lograr decidir qué
método elegir en cada caso que se presente, hasta llegado
el momento en que resuelva ecuaciones diferenciales sin necesidad
de consultar el conjunto de indicaciones de carácter
heurístico presentado.

Recomendaciones

Se recomienda tanto a estudiantes como a profesores (en
particular a profesores de matemática III en la UCI) que
estudien este material y posteriormente valoren y comuniquen al
autor de este trabajo en qué medida les ha sido
útil, en el caso de los primeros en el desarrollo de
sus clases y, en el caso de los segundos, a la hora de resolver
una tarea que requiera resolver mediante métodos
analíticos una ecuación diferencial ordinaria de
primer orden integrable en cuadraturas.

Bibliografía

Colectivo de autores. Ecuaciones Diferenciales.
Editorial Pueblo y Educación. La
Habana.1985.Pp 66; 67.

Colectivo de autores. Metodología de la
enseñanza de la matemática. Tomo I.
Editorial Pueblo y Educación. La Habana.1992.Pp 223; 225;
226.

A mis alumnos, a los estudiantes y a profesores de matemáticas.

Autor:

Alejandro Martínez Castellini

Universidad de Ciencias Informáticas

Facultad 7